Wintersemester 2014/2015

Dozenten:  Prof. Dr. Holger Reich,  Prof. Dr. Elmar Vogt

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• Zeit und Ort:  Donnerstag  16:00-18:00 Uhr, Arnimallee 6 SR 032

• Leistungsnachweis:  Vortrag und schriftliche Vortragsausarbeitung.

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Content:  We plan to work through the small book "Topology from the Differential Viewpoint" by John Milnor, one of the Classics of the Princeton University Press and a mathematical jewel. It introduces the reader to some fundamental concepts of early topology, but instead of using algebraic and combinatorial tools it uses elementary methods from real analysis, also introducing some basic concepts of differential topology like differential manifolds, tangent bundles and vector fields. The topics center around the concept of degree of mappings between manifolds as developed by Brouwer in the beginning of the 20-th century, and the booklet leads up to some interesting and from the outset not so trivial results of algebraic topology. In particular the relationship between indices of vector fields and Euler characteristics and the classification of homotopy classes of maps from manifolds into spheres of the same dimension are dealt with in a beautiful way. The final talks will treat homotopy classes of maps from (n+k)-manifolds to k-dimensional spheres which leads to a geometric understanding of higher homotopy groups of spheres.

Target group:  This seminar is intended for advanced bachelor students and beginning master students. For most of the talks a good understanding of Analysis of several variables will suffice. There will be one or two talks where a basic knowledge of singular homology is needed. This will be covered in the first half of Pavle Blagejovics lecture Topology 2. 

We encourage all participants to give their presentation in English, but anyone who absolutely panics at the thought of giving her/his talk in English might use German. (No other language, please)

Vorträge

Termin	Titel	Vortragende(r)
02.10.	Vorbesprechung / preliminary discussion
15.10.	(1)   Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume.	E. Vogt
22.10.	(2)   Reguläre Werte, Fundamentalsatz der Algebra, berandete Mannigfaltigkeiten.	E. Vogt
29.10.	(3)   Brouwerscher Fixpunktsatz und Sätze, aus denen er folgt. Der Satz von Sard.	E. Vogt
05.11.	Diskussions- und Nacharbeitungstermin
12.11.	(4)   Der  mod 2   Abbildungsgrad  (Glatte Homotopien und Isotopien)	David Schwartz
19.11.	(5)   Orientierung und  Brouwerscher Abbildungsgrad           --  Fällt aus wegen Krankheit  --	Valeria Zahoransky
26.11.	(5)   Orientierung und  Brouwerscher Abbildungsgrad	Valeria Zahoransky
02.12.	(6)  Vektorfelder mit isolierten Singularitäten. Teil 1	Benjamin Kaiser
09.12.	(7)  Vektorfelder mit isolierten Singularitäten. Teil 2	Christian Weiland
16.12.	(8)  Vektorfelder und Euler Charakteristik	Max Krause
06.01.	Diskussions- und Nacharbeitungstermin
13.01.	(9)  Gerahmter Kobordismus und die Pontryagin-Thom Konstruktion. Teil1	Adam Schienle
20.01.	(10)  Gerahmter Kobordismus und die Pontryagin-Thom Konstruktion. Teil 2	Mike Pickl
27.01.	Diskussions- und Nacharbeitungstermin,  evtl. Beginn des für den  3.02. angesetzten Vortrags
03.02.	(11)  Morsefunktionen und die Struktur von Mannigfaltigkeiten.Teil 1	Lukas Polthier, Thorsten Rätscher
10.02.	(12)  Morsefunktionen und die Struktur von Mannigfaltigkeiten.Teil 2	Lukas Polthier,  Thorsten Rätscher

Literatur 

• Bröcker, Th.; Jänich, K.:  Introduction to differential topology, Cambridge University Press 1982
• Milnor, J.:  Morse Theory;  Annals of Math Studies No. 51, Princeton Univ. Press 1969
• Milnor, J.:  Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton Landmarks in Mathematics,
  Princeton University Press 1997