Die K-Theorie wurde Mitte des vergangenen Jahrhunderts durch Mathematiker wie Grothendieck, Atiyah und Hirzebruch entwickelt. Seitdem wurden immer neue, schlagkräftige Anwendungen für diese Invariante entdeckt, sie spielt inzwischen auch in der Welt der Operatoralgebren eine entscheidende Rolle. Es wurde dabei eine ganze Familie von Vermutungen aufgestellt, die K-Theorie-Berechnungen in Zusammenhang mit der Darstellungstheorie (unendlicher) Gruppen bringen. Die Baum-Connes-Vermutung und ihre jüngere Schwester, die Bost-Vermutung, gehören dazu. In diesem Vortrag zeichne ich zunächst nach, wie man über immer weitere Abstraktionen der ursprünglichen Ansätze zu den genannten Vermutungen kommt, um dann Lösungsansätze und meine neuesten eigenen Resultate vorzustellen.