Bei der Entwicklung numerischer Berechnungsverfahren für Strömungs­prozesse setzen wir bis auf wenige Ausnahmen auf Finite-Volumen-Verfahren in Erhaltungs­form, [28,29], wozu wir ggfs. auch diskontinuier­liche Galerkin-Verfahren zählen, [30]: Eine generell bei der nume­rischen Simulation von Atmosphären­strömungen und von turbulenten Strömungen aus dem Bereich der Ingenieurs­anwendungen auftretende Schwierig­keit ist die sogenannte "Unterauflösung". Dieser Begriff umreisst, dass sich wegen der grossen Band­breite von Längen- und Zeitskalen, die solche Strömungen ausmachen, niemals alle Strömungs­details auf dem Computer abbilden lassen -- abgesehen davon, dass man an all diesen Details im allgemeinen auch gar nicht interessiert ist. Der einzige uns bekannte Zugang zur nume­rischen Dar­stellung von Prozessen der Kontinuums­mechanik, dessen Konstruk­tions­prinzip grundsätzlich auch eine Unter­auflösung zulässt, ohne seine Berechtigung zu verlieren, basiert auf der Bilanzie­rung der Erhal­tungs­größen Masse, Impuls, und Energie über endlich große Kontroll­volumina. Dies ist gerade das Konstruktions­prinzip der Finite-Volumen-Verfahren in Erhaltungs­form. Unsere numerischen Arbeiten kon­zentrieren sich daher darauf, diese Methoden für Anwen­dungen in der Atmos­phären­physik weiter­zuentwickeln.

Zu diesen Entwicklungen gehören

- gut balancierte Verfahren, die dominierende Gleichgewichte von Druck- und Gewichtskräften korrekt widerspiegeln, [31,32],

- Verfahren für schwach kompressible Strömungen kleiner Mach oder Froude-Zahl, [33,34,35,36]

Verfahren für schwachkompressible Strömungen

Schwach kom­pres­sible Strömungen tre­ten in geophy­sika­li­schen Pro­ble­men, wie­ Atmosphären­strö­mun­gen oder Ozeanströmungen, aber auch im Zusammenhang mit­ Ver­brennungsprozes­sen auf. Mathematisch werden diese Proble­me durch die Euler- oder Navier-Stokes-Gleichungen für die Erhaltung von Masse, Impuls und Energie be­schrieben und sind (in ihrer dimensionslosen Form) durch kleine Mach-, Froude-, Rossby- und Reynoldszah­len gekennzeichnet. Dabei charakterisiert insbesondere die Machzahl den Einfluss der Kompres­sibilität auf eine gegebene Strömung. Sie wird be­rechnet als das Verhältnis zwischen einer im Problem vorherrschenden typischen Strömungsgeschwindigkeit und der Schallge­schwindigkeit.

Die Flachwassergleichungen beschreiben unter bestimmten Bedingungen in guter Approximation die zeitliche Entwicklung von Strömungsvorgängen, deren horizontale Ausdehnung groß im Vergleich zu ihrer vertikalen Ausdehnung ist. Durch die Gleichungen werden in jedem Punkt der Horizontalen die Zeitverläufe der Fluiddicke sowie der über die Tiefe des Fluids gemittelten horizon­talen Geschwin­digkeit beschrie­ben. In bestimm­ten Pro­blemen wird die Geschwin­digkeit von Ober­flächenwellen groß im Vergleich zur Strömungsgeschwindigkeit, was sich mathematisch in einer kleinen Froude-Zahl ausdrückt und von der Struktur her äquivalent zum Auftreten kleiner Machzahlen bei den kom­pressiblen Strömungsgleichungen ist. Ein prominentes Beispiel für Flachwasserströmungen kleiner Froude-Zahl sind Tsu­nami-Wellen, die sich über die Wei­ten der Ozeane hinweg ausbreiten. Wenn ein Tsunami eine Küste er­reicht, wird die Flachwasser-Theorie aller­dings recht ungenau.

Hier geht es weiter

- eine impulserhaltende Diskretisierung des Coriolis-Terms, [37],

- die Darstellung von Strömungsberandungen auf cartesischen (Rechteck-) Gittern mittels Levelset-Verfahren und "angeschnittenen" Kontrollvolumina, [38].

Zusammen mit Kolleginnen und Kollegen in Deutschland und der Schweiz widmen wir uns im Schwerpunktprogram "Multiskalenmodelle in Strömungsmechanik und Meteorologie" (MetStroem), [39], der systematischen Verbindung zwischen numerischen Diskretisierungen der atmos­phärischen Strömungs­gleichungen und der Modellierung der auf einem Rechen­gitter nicht aufgelösten Prozesse.

[28] LeVeque, R.J. (2002) Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems,Cambridge University Press, Basel

[29 ]Kroener, D. (1996) Numerical Schemes for Conservation Laws, Wiley and Teubner, pp 480

[30] Cockburn, B (2003) Discontinuous Galerkin methods, ZAMM · Z. Angew. Math. Mech. 83, No. 11, 731 – 754

[31] Botta, N., Klein, R., Langenberg S., Lützenkirchen S. (2004) Well Balanced Finite Volume Methods for Nearly Hydrostatic Flows. , J. Comp. Phys., 196, 539-565

[32] Audusse, E. and Bouchut, F. and Bristeau, M.O. and Klein, R. and Perthame, B. (2004) A fast and stable well-balanced scheme with hydrostatic reconstruction for shallow water flows. Journal of Scientific Computation, 25 (6). pp. 2050-2065.

[33] Klein, R., (1995) Semi-Implicit Extension of a Godunov-Type Scheme Based on Low Mach Number Asymptotics I: One-dimensional Flow, J. Comput. Phys., 121, 213--237

[34] Schneider, T. and Klein, R. (1999) Overcoming Mass Losses in Level-Set-Based Interface Tracking Schemes. In: 2nd International Symposium on Finite Volumes for Complexe Applications - Problems and Perspectives, Berlin, Germany, July 19 - 22, 1999.

[35] Vater, S. and Klein, R. (2009) Stability of a Cartesian grid projection method for zero Froude number shallow water flows. Numerische Mathematik, 113 (1). pp. 123-161.

[36] Klein, R. (2009) Asymptotics, structure, and integration of sound-proof atmospheric flow equations. Theoretical and Computational Fluid Dynamics, 23 (3). pp. 161-195. ISSN 0935-4964 (Print) 1432-2250 (Online)

[37] Audusse, E. and Klein, R. and Owinoh, A.Z. (2009) Conservative Discretization of Coriolis Force. Journal of Computational Physics, 228 (8). pp. 2934-2950.

[38] Klein, R. and Bates, K.R. and Nikiforakis, N. (2009) Well Balanced Compressible Cut-Cell Simulation of Atmospheric Flow. Philosophical Transaction of the Royal Society . (In Press)

[39] DFG- Schwerpunktprogramm MetStroem

Vollständige Publikationsliste der Arbeitsgruppe